4. Сократите дроби: 1) (b + 10b^(4/9))/(b^(5/9) + 11); 2) (a^(1/6) − b^(1/6))/(a^(1/12) − b^(1/12)); 3) (x^(1/3)y^(1/2) + 4x^(1/2)y^(1/3))/(x^(1/6) + 8x^(1/12)y^(1/12) + 16y^(1/6)).

1) Числитель раскладывается как \(b+10b^{4/9}=b^{4/9}(b^{5/9}+10)\). Общего множителя у числителя и знаменателя нет, поэтому дробь в общем случае не сокращается: \(\frac{b^{4/9}(b^{5/9}+10)}{b^{5/9}+11}\).

2) Положим \(u=a^{1/12}\), \(v=b^{1/12}\). Тогда дробь имеет вид \(\frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v\). Следовательно, результат — \(a^{1/12}+b^{1/12}\) (при ненулевом знаменателе исходной дроби).

3) Обозначим \(u=x^{1/12}\), \(v=y^{1/12}\). Числитель равен \(u^4v^6+4u^6v^4=u^4v^4(v^2+4u^2)\), а знаменатель — \((u+4v)^2\). Общего множителя для сокращения нет. Поэтому дробь записывается как \(\frac{u^4v^4(v^2+4u^2)}{(u+4v)^2}\), или \(\frac{x^{1/3}y^{1/3}(y^{1/6}+4x^{1/6})}{(x^{1/12}+4y^{1/12})^2}\).