5. Решите уравнение: 1) √(x − 8) + 3∜(x − 8) = 18; 2) √(2x + 3) − √(4 − x) = 2; 3) ∛(6 − x) + ∛(29 + x) = 5.

1) Пусть \(t=\sqrt[4]{x-8}\), где \(t\ge0\). Тогда \(\sqrt{x-8}=t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2+3t=18\). Получаем \((t-3)(t+6)=0\); с учётом \(t\ge0\), \(t=3\). Значит, \(x-8=3^4=81\), откуда \(x=89\).

2) Область определения: \(-\frac32\le x\le4\). Перенесём один корень: \(\sqrt{2x+3}=2+\sqrt{4-x}\). После возведения в квадрат получаем \(3x-5=4\sqrt{4-x}\), поэтому дополнительно \(x\ge\frac53\). Ещё раз возведём в квадрат: \(9x^2-30x+25=16(4-x)\), то есть \(9x^2-14x-39=0\). Корни: \(x=3\) и \(x=-\frac{13}{9}\); ограничению \(x\ge\frac53\) подходит только 3. Проверка: \(\sqrt9-\sqrt1=2\).

3) Обозначим \(u=\sqrt[3]{6-x}\), \(v=\sqrt[3]{29+x}\). Тогда \(u+v=5\), а \(u^3+v^3=35\). По формуле \(u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)\): \(35=125-15uv\), откуда \(uv=6\). Следовательно, \(u,v\) — корни уравнения \(z^2-5z+6=0\), то есть 2 и 3. Если \((u,v)=(2,3)\), то \(x=-2\); если \((u,v)=(3,2)\), то \(x=21\). Оба значения подходят.

Ответ: 1) \(x=89\); 2) \(x=3\); 3) \(x=-2\) или \(x=21\).