4. Тип 12 № 506581. В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD = 12.

Диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника; применим координаты. Пусть \(A=(0,0), B=(1,0), D=(0,1)\), тогда \(C=(1,1)\), а середина \(BC\) — точка \(M=(1,\frac12)\).

На диагонали \(BD\) точка имеет вид \((1-s,s)\). На прямой \(AM\) точка имеет вид \((t,\frac t2)\). В точке пересечения \(t=1-s\) и \(\frac t2=s\), откуда \(t=\frac23\), \(s=\frac13\). Значит, \(BK=\frac13BD\).

\(BK=\frac13\cdot12=4\).

Ответ: 4.