4. Точка M не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD ∥ BC). а) Докажите, что треугольники MAD и MBC имеют параллельные средние линии. б) Найдите длины этих средних линий, если AD : BC = 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см.

а) Пусть в треугольниках MAD и MBC взяты средние линии, соединяющие середины сторон MA и MD, а также MB и MC соответственно. Каждая такая линия параллельна третьей стороне своего треугольника. Поскольку AD ∥ BC, средние линии этих треугольников параллельны друг другу.

б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому \((AD+BC)/2=16\), то есть \(AD+BC=32\). Отношение оснований 5 : 3; всего 8 равных долей, одна доля равна \(32/8=4\) см. Значит, \(AD=5\cdot4=20\) см, \(BC=3\cdot4=12\) см.

Средняя линия каждого треугольника равна половине соответствующего основания: для треугольника MAD — \(20/2=10\) см, для MBC — \(12/2=6\) см.

Ответ: средние линии равны 10 см и 6 см.