4) Упростить выражение \(\frac{a^2+a\sqrt2}{a^2+2}\left(\frac{a}{a-\sqrt2}-\frac{\sqrt2}{a+\sqrt2}\right)\).

Область допустимых значений: \(a\ne\sqrt2\) и \(a\ne-\sqrt2\).

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{a}{a-\sqrt2}-\frac{\sqrt2}{a+\sqrt2}=\frac{a(a+\sqrt2)-\sqrt2(a-\sqrt2)}{(a-\sqrt2)(a+\sqrt2)}=\frac{a^2+2}{a^2-2}\).

Также \(a^2+a\sqrt2=a(a+\sqrt2)\). Тогда

\(\frac{a(a+\sqrt2)}{a^2+2}\cdot\frac{a^2+2}{(a-\sqrt2)(a+\sqrt2)}=\frac{a}{a-\sqrt2}\).

Ответ: \(\frac{a}{a-\sqrt2}\), при \(a\ne\pm\sqrt2\).