4. Упростите: а) \(\frac{m-k}{m^{1/2}+m^{1/2}k}\); б) \((x^{1/4}+y^{1/4})^2-(x^{1/4}-y^{1/4})^2\); в) \((1000^y)^{2/3}\cdot(0{,}1^{y^{1/3}})^{-1/2}\).

1. а) В знаменателе выносим \(m^{1/2}\): \(\frac{m-k}{m^{1/2}(1+k)}\). Дальше сокращение невозможно без дополнительных условий или другой записи знаменателя.
2. б) Используем тождество \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\), где \(a=x^{1/4}\), \(b=y^{1/4}\). Получаем \(4x^{1/4}y^{1/4}=4\sqrt[4]{xy}\).
3. в) \(1000=10^3\), а \(0{,}1=10^{-1}\). Тогда \((1000^y)^{2/3}=10^{2y}\), а \((0{,}1^{y^{1/3}})^{-1/2}=10^{y^{1/3}/2}\). Произведение равно \(10^{2y+y^{1/3}/2}\).

Ответ: а) \(\frac{m-k}{\sqrt m(1+k)}\); б) \(4\sqrt[4]{xy}\); в) \(10^{2y+y^{1/3}/2}\).