4. Упростите выражение: 1) \( \frac{a+9}{3a+9} - \frac{a+3}{3a-9} + \frac{13}{a^2-9} \)

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \(3a+9 = 3(a+3)\)
• \(3a-9 = 3(a-3)\)
• \(a^2-9 = (a-3)(a+3)\)
2. Найдем общий знаменатель. Это будет \(3(a-3)(a+3)\).
3. Приведем дроби к общему знаменателю:
• Первую дробь домножим на \((a-3)\): \( \frac{(a+9)(a-3)}{3(a+3)(a-3)} = \frac{a^2 - 3a + 9a - 27}{3(a^2-9)} = \frac{a^2 + 6a - 27}{3(a^2-9)} \)
• Вторую дробь домножим на \((a+3)\): \( \frac{(a+3)(a+3)}{3(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 6a + 9}{3(a^2-9)} \)
• Третья дробь остается без изменений.
4. Теперь выполним вычитание и сложение:

\[ \frac{a^2 + 6a - 27}{3(a^2-9)} - \frac{a^2 + 6a + 9}{3(a^2-9)} + \frac{13}{a^2-9} \]

\[ = \frac{(a^2 + 6a - 27) - (a^2 + 6a + 9) + 3 \times 13}{3(a^2-9)} \]

\[ = \frac{a^2 + 6a - 27 - a^2 - 6a - 9 + 39}{3(a^2-9)} \]

\[ = \frac{-27 - 9 + 39}{3(a^2-9)} = \frac{-36 + 39}{3(a^2-9)} = \frac{3}{3(a^2-9)} \]

1. Сократим дробь:

\[ \frac{1}{a^2-9} \]

Ответ: \( \frac{1}{a^2-9} \)