4. Упростите выражение: 2) \( \frac{4b^3+8b}{b^3-8} - \frac{2b^2}{b^2+2b+4} \)

Решение:

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности кубов: \( b^3 - 8 = (b-2)(b^2+2b+4) \).
2. Найдем общий знаменатель. Он будет равен \( (b-2)(b^2+2b+4) \), так как \( b^2+2b+4 \) уже присутствует во второй дроби.
3. Приведем дроби к общему знаменателю:
• Первую дробь оставляем без изменений.
• Вторую дробь домножим на \((b-2)\):

\[ \frac{2b^2(b-2)}{(b^2+2b+4)(b-2)} = \frac{2b^3 - 4b^2}{(b-2)(b^2+2b+4)} \]

1. Теперь вычтем дроби:

\[ \frac{4b^3+8b}{(b-2)(b^2+2b+4)} - \frac{2b^3 - 4b^2}{(b-2)(b^2+2b+4)} = \frac{4b^3+8b - (2b^3 - 4b^2)}{(b-2)(b^2+2b+4)} \]

\[ = \frac{4b^3+8b - 2b^3 + 4b^2}{(b-2)(b^2+2b+4)} = \frac{2b^3 + 4b^2 + 8b}{(b-2)(b^2+2b+4)} \]

1. Вынесем общий множитель \(2b\) в числителе:

\[ \frac{2b(b^2 + 2b + 4)}{(b-2)(b^2+2b+4)} \]

1. Сократим дробь, убрав \( (b^2+2b+4) \):

\[ \frac{2b}{b-2} \]

Ответ: \( \frac{2b}{b-2} \)