4. Упростите выражение: \(\dfrac{4\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi+x)+\sin(\pi-x)\right)}{\sin x}\).

Применяем формулы приведения: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\), \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\).

Тогда

\(\dfrac{4(\cos x-\cos x+\sin x)}{\sin x}=\dfrac{4\sin x}{\sin x}=4\).

Исходное выражение определено при \(\sin x\ne 0\), то есть при \(x\ne\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Ответ: 4, при \(x\ne\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).