Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 6. Найдите корень уравнения: 1) \(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(3\cos^2 x-10\cos x+3=0\).Фото задания

Ответ:

  1. Синус равен \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) при углах \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\) на одном периоде. Поэтому

    \(x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

  2. Обозначим \(t=\cos x\). Решаем квадратное уравнение:

    \(3t^2-10t+3=0\),

    \(t=\dfrac{10\pm\sqrt{100-36}}{6}=\dfrac{10\pm8}{6}\), откуда \(t=3\) или \(t=\dfrac{1}{3}\).

    Значение \(\cos x=3\) невозможно, так как \(|\cos x|\le1\). Остаётся \(\cos x=\dfrac{1}{3}\), поэтому

    \(x=\pm\arccos\left(\dfrac{1}{3}\right)+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Ответ: 1) \(x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\); 2) \(x=\pm\arccos\left(\dfrac{1}{3}\right)+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).