4. Упростите выражение \( \frac{4a+6b}{a^2-49} : \frac{6a+9b}{a^2-14a+49} \) и найдите его значение при \( a=\frac{1}{7}, b=-\frac{1}{6}, x=\frac{1}{2} \).

Сначала упростим выражение, раскладывая знаменатели и числители на множители.

• Числитель первой дроби: \(4a+6b = 2(2a+3b)\)
• Знаменатель первой дроби: \(a^2-49 = (a-7)(a+7)\) (разность квадратов)
• Числитель второй дроби: \(6a+9b = 3(2a+3b)\)
• Знаменатель второй дроби: \(a^2-14a+49 = (a-7)^2\) (квадрат разности)

Теперь заменим деление умножением на обратную дробь:

\[ \frac{2(2a+3b)}{(a-7)(a+7)} : \frac{3(2a+3b)}{(a-7)^2} = \frac{2(2a+3b)}{(a-7)(a+7)} \cdot \frac{(a-7)^2}{3(2a+3b)} \]

Сокращаем одинаковые множители:

• \(2a+3b\) в числителе и знаменателе.
• Один множитель \((a-7)\) в числителе и знаменателе.

Остается:

\[ \frac{2}{(a+7)} \cdot \frac{(a-7)}{3} = \frac{2(a-7)}{3(a+7)} \]

Теперь подставим значения \(a=\frac{1}{7}\) и \(b=-\frac{1}{6}\). Значение \(x\) не используется в этом выражении.

Подставляем \(a=\frac{1}{7}\):

Числитель: \(2(a-7) = 2(\frac{1}{7}-7) = 2(\frac{1}{7}-\frac{49}{7}) = 2(\frac{1-49}{7}) = 2(-\frac{48}{7}) = -\frac{96}{7}\)

Знаменатель: \(3(a+7) = 3(\frac{1}{7}+7) = 3(\frac{1}{7}+\frac{49}{7}) = 3(\frac{1+49}{7}) = 3(\frac{50}{7}) = \frac{150}{7}\)

Теперь делим числитель на знаменатель:

\[ \frac{-\frac{96}{7}}{\frac{150}{7}} = -\frac{96}{7} \cdot \frac{7}{150} = -\frac{96}{150} \]

Сокращаем дробь \(-\frac{96}{150}\). Оба числа делятся на 6:

\(96 \div 6 = 16\)

\(150 \div 6 = 25\)

Получаем \(-\frac{16}{25}\).

Ответ: \(-\frac{16}{25}\)