8. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{86^2-83^2}{27}} - \sqrt[3]{16 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{25}}\)

Давайте разберем каждую часть выражения отдельно.

Часть 1: \(\sqrt{\frac{86^2-83^2}{27}}\)

• Воспользуемся формулой разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
• \(86^2 - 83^2 = (86-83)(86+83) = (3)(169)\)
• Теперь подставим это в дробь: \(\frac{3 \cdot 169}{27}\)
• Сократим дробь: \(\frac{1 \cdot 169}{9} = \frac{169}{9}\)
• Найдем квадратный корень: \(\sqrt{\frac{169}{9}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{9}} = \frac{13}{3}\)

Часть 2: \(\sqrt[3]{16 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{25}}\)

Эта часть выражения выглядит сложной и, вероятно, содержит опечатку, так как \(\sqrt[3]{25}\) не является простым числом, и \(\frac{1}{3}\) умноженное на него не упрощается легко. Также, если это кубический корень из разности, то \(16\) и \(\frac{1}{3} \sqrt[3]{25}\) не образуют куб разности стандартным образом.

Предполагая, что в задании опечатка и вместо \(16 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{25}\) должно быть что-то другое, что приведет к простому кубическому корню (например, \(8\) или \(27\)), я не могу дать точного решения.

Если предположить, что вторая часть выражения является самостоятельным выражением, которое не связано с первой частью, и, возможно, есть опечатка в \(\sqrt[3]{25}\).

В случае, если задание действительно такое, как написано, без дополнительной информации или исправления опечатки, точная аналитика затруднительна.

Для предоставления ответа, я буду исходить из первой части, как наиболее ясной.

Ответ (только по первой части): \(\frac{13}{3}\)