4. Упростите выражение: \(\sqrt{8} - \sqrt{32}\sin^2 \frac{11\pi}{8}\)

Решение:

1. Упростим \(\sqrt{8}\) и \(\sqrt{32}\):

$$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \\ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $$

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла \(\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha\), откуда \(\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}\).
2. Применим её к \(\sin^2 \frac{11\pi}{8}\):

$$ \sin^2 \frac{11\pi}{8} = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{11\pi}{8})}{2} = \frac{1 - \cos(\frac{11\pi}{4})}{2} $$

1. Вычислим \(\cos(\frac{11\pi}{4})\). \(\frac{11\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}\), значит, \(\cos(\frac{11\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Подставим значение косинуса:

$$ \sin^2 \frac{11\pi}{8} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} $$

1. Подставим все в исходное выражение:

$$ 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = -2 $$

Ответ: \(-2\)