7. Найдите производную: \(\left(\frac{\text{arctg}x}{x}\right)'\)

Решение:

Используем правило дифференцирования частного: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Пусть \(u = \text{arctg}x\) и \(v = x\).

1. Найдем производные \(u'\) и \(v'\):

$$ u' = (\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2} \\ v' = (x)' = 1 $$

1. Подставим в формулу:

$$ \left(\frac{\text{arctg}x}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{1+x^2} \cdot x - \text{arctg}x \cdot 1}{x^2} \\ = \frac{\frac{x}{1+x^2} - \text{arctg}x}{x^2} $$

1. Приведем к общему знаменателю в числителе:

$$ = \frac{\frac{x - (1+x^2)\text{arctg}x}{1+x^2}}{x^2} = \frac{x - (1+x^2)\text{arctg}x}{x^2(1+x^2)} $$

Ответ: \(\frac{x - (1+x^2)\text{arctg}x}{x^2(1+x^2)}\)