8. Вычислите определенный интеграл: \(\int_1^2 (9x^2 + 6x + 1) dx\)

Решение:

1. Найдем первообразную для функции \(f(x) = 9x^2 + 6x + 1\):

$$ F(x) = \int (9x^2 + 6x + 1) dx = 9\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} + x + C = 3x^3 + 3x^2 + x + C $$

1. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\).

$$ \int_1^2 (9x^2 + 6x + 1) dx = [3x^3 + 3x^2 + x]_1^2 \\ = (3(2)^3 + 3(2)^2 + 2) - (3(1)^3 + 3(1)^2 + 1) \\ = (3 \cdot 8 + 3 \cdot 4 + 2) - (3 + 3 + 1) \\ = (24 + 12 + 2) - 7 \\ = 38 - 7 = 31 $$

Ответ: 31