4. Упростите выражения: (2/√5 - 1 - 3/√5 + 1) * (5 + √5)

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю:

1. Общий знаменатель для \( \frac{2}{\sqrt{5}-1} - \frac{3}{\sqrt{5}+1} \) равен \( (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) \).
2. Преобразуем выражение в скобках: \[ \left( \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} - \frac{3(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} \right) \]
3. Знаменатель разности квадратов: \( (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 \).
4. Числитель: \( 2(\sqrt{5}+1) - 3(\sqrt{5}-1) = 2\sqrt{5} + 2 - 3\sqrt{5} + 3 = 5 - \sqrt{5} \).
5. Выражение в скобках: \( \frac{5 - \sqrt{5}}{4} \).
6. Теперь умножим на \( (5 + \sqrt{5}) \): \[ \frac{5 - \sqrt{5}}{4} \cdot (5 + \sqrt{5}) = \frac{(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})}{4} \]
7. Снова разность квадратов в числителе: \( (5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20 \).
8. Итоговый результат: \( \frac{20}{4} = 5 \).

Ответ: 5