4. Упростите выражения: а) $\frac{\cos\alpha+\ctg(2\pi+\alpha)}{1-\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$; б) $(1-\cos\alpha)^2+(1+\cos\alpha)^2+2\sin^2\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражения: а) $\frac{\cos\alpha+\ctg(2\pi+\alpha)}{1-\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$; б)…$ Фото задания

4. Упростите выражения: а) $\frac{\cos\alpha+\ctg(2\pi+\alpha)}{1-\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$; б) $(1-\cos\alpha)^2+(1+\cos\alpha)^2+2\sin^2\alpha$.

Accepted Answer

а) Используем периодичность котангенса: $\ctg(2\pi+\alpha)=\ctg\alpha$. Кроме того, $\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\sin\alpha$. Поэтому

\[\frac{\cos\alpha+\ctg\alpha}{1-\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=\frac{\cos\alpha+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{1+\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha(1+\sin\alpha)}=\ctg\alpha.\]

б) Раскроем скобки и применим тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

\[(1-\cos\alpha)^2+(1+\cos\alpha)^2+2\sin^2\alpha=2+2\cos^2\alpha+2\sin^2\alpha=4.\]

Ответ: а) $\ctg\alpha$; б) 4.

4. Упростите выражения: а) \(\frac{\cos\alpha+\ctg(2\pi+\alpha)}{1-\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}\); б) \((1-\cos\alpha)^2+(1+\cos\alpha)^2+2\sin^2\alpha\).

Ответ: