5. Докажите тождество: $(3\cos\alpha-4\sin\alpha)^2+(3\sin\alpha+4\cos\alpha)^2=25$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите тождество: $(3\cos\alpha-4\sin\alpha)^2+(3\sin\alpha+4\cos\alpha)^2=25$.$ Фото задания

Accepted Answer

Раскроем скобки:

\[(3\cos\alpha-4\sin\alpha)^2+(3\sin\alpha+4\cos\alpha)^2\]

\[=9\cos^2\alpha-24\sin\alpha\cos\alpha+16\sin^2\alpha+9\sin^2\alpha+24\sin\alpha\cos\alpha+16\cos^2\alpha.\]

Смешанные слагаемые сокращаются, а оставшиеся объединяются:

\[=25\cos^2\alpha+25\sin^2\alpha=25(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=25.\]

Следовательно, тождество доказано.

5. Докажите тождество: \((3\cos\alpha-4\sin\alpha)^2+(3\sin\alpha+4\cos\alpha)^2=25\).