4. В квадрате 3 × 3 клетки провели отрезки AB и CD так, как это показано на рисунке. Докажите, что части этих отрезков, выделенные красным цветом, равны.

Обозначим длину стороны клетки через \(a\). По рисунку отрезок \(AB\) проходит от \(A=(0,0)\) до \(B=(1,3)\) в координатах клеточной сетки. Красная часть заканчивается на горизонтали, отстоящей от нижней стороны квадрата на одну клетку. Это соответствует одной трети отрезка \(AB\).

Длина всего \(AB\) равна \(a\sqrt{1^2+3^2}=a\sqrt{10}\). Поэтому красная часть имеет длину \(\frac{a\sqrt{10}}{3}\).

Отрезок \(CD\) идёт от \(C=(0,2)\) до \(D=(3,1)\). Красная часть заканчивается на вертикали, отстоящей от левой стороны квадрата на одну клетку, то есть также составляет треть отрезка \(CD\). Его длина равна \(a\sqrt{3^2+1^2}=a\sqrt{10}\), поэтому красная часть имеет длину \(\frac{a\sqrt{10}}{3}\).

Ответ: красные части равны.