4. В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекаю- щиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( AK \cdot KC = BK \cdot KD \)

Из условия задачи имеем:

• \( AK = 8 \) см
• \( KC = 6 \) см
• \( BK + DK = 28 \) см

Подставим известные значения:

\( 8 \cdot 6 = BK \cdot DK \)

\( 48 = BK \cdot DK \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( BK + DK = 28 \)
2. \( BK \cdot DK = 48 \)

Из первого уравнения выразим \( BK \):

\( BK = 28 - DK \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( (28 - DK) \cdot DK = 48 \)

\( 28 DK - DK^2 = 48 \)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\( DK^2 - 28 DK + 48 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 784 - 192 = 592 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{592} = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37} \)

Найдем корни уравнения:

\( DK_1 = \frac{28 + 4\sqrt{37}}{2} = 14 + 2\sqrt{37} \)

\( DK_2 = \frac{28 - 4\sqrt{37}}{2} = 14 - 2\sqrt{37} \)

Если \( DK = 14 + 2\sqrt{37} \) см, то \( BK = 28 - (14 + 2\sqrt{37}) = 14 - 2\sqrt{37} \) см.

Если \( DK = 14 - 2\sqrt{37} \) см, то \( BK = 28 - (14 - 2\sqrt{37}) = 14 + 2\sqrt{37} \) см.

Приблизительные значения:

\( \sqrt{37} \approx 6.08 \)

\( 2\sqrt{37} \approx 12.17 \)

\( DK_1 \approx 14 + 12.17 = 26.17 \)

\( BK_1 \approx 14 - 12.17 = 1.83 \)

\( DK_2 \approx 14 - 12.17 = 1.83 \)

\( BK_2 \approx 14 + 12.17 = 26.17 \)

Проверка: \( 26.17 + 1.83 = 28 \). \( 26.17 \cdot 1.83 \approx 47.89 \) (близко к 48 из-за округления).

Ответ: Длины отрезков ВК и DK равны \( 14 + 2\sqrt{37} \) см и \( 14 - 2\sqrt{37} \) см.