Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( AB = a \). Тогда \( AC = 2a \). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( AB = CD = a \) и \( BC = AD \).
Рассмотрим треугольник ACD. Стороны равны \( CD = a \) и \( AC = 2a \). Угол \( \angle ACD = 47° \).
По теореме косинусов для треугольника ACD:
\( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD) \)
\( AD^2 = (2a)^2 + a^2 - 2 \cdot (2a) \cdot a \cdot \cos(47°) \)
\( AD^2 = 4a^2 + a^2 - 4a^2 \cos(47°) \)
\( AD^2 = 5a^2 - 4a^2 \cos(47°) \)
\( AD^2 = a^2(5 - 4 \cos(47°)) \)
\( AD = a\sqrt{5 - 4 \cos(47°)} \)
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. O — середина AC и BD.
\( AO = OC = \frac{AC}{2} = a \)
В треугольнике AOD, \( AO = a \).
В треугольнике COD, \( OC = a \) и \( CD = a \). Следовательно, треугольник COD — равнобедренный.
\( \angle CAD = \angle CDA \)
Угол \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \)
В треугольнике ACD:
\( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180° \)
\( \angle CAD + \angle ADC + 47° = 180° \)
\( 2 \angle ADC = 180° - 47° = 133° \)
\( \angle ADC = 66.5° \)
\( \angle CAD = 66.5° \)
В треугольнике AOD:
\( AO = a \), \( AD = a\sqrt{5 - 4 \cos(47°)} \), \( OD = BD/2 \).
В треугольнике COD: \( OC = a \), \( CD = a \), \( \angle OCD = 47° \). Треугольник COD равнобедренный, значит \( \angle ODC = \angle OCD = 47° \). Тогда \( \angle COD = 180° - 47° - 47° = 86° \).
Угол \( \angle AOB = \angle COD = 86° \) (как вертикальные).
Угол \( \angle BOC = \angle AOD = 180° - 86° = 94° \).
Меньший угол между диагоналями равен 86°.
Ответ: 86
