6. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 42°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных — точка K. Тогда \( \angle AKB = 42° \).

Рассмотрим четырехугольник OAKB. Углы \( \angle OAK \) и \( \angle OBK \) равны 90°, так как радиусы OA и OB перпендикулярны касательным AK и BK соответственно.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°:

\( \angle AOB + \angle OAK + \angle AKB + \angle OBK = 360° \)

\( \angle AOB + 90° + 42° + 90° = 360° \)

\( \angle AOB + 222° = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 222° \)

\( \angle AOB = 138° \)

Теперь рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB — радиусы, то \( OA = OB \). Треугольник OAB — равнобедренный.

Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в треугольнике OAB равна 180°:

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \)

\( 2 \angle OBA + 138° = 180° \)

\( 2 \angle OBA = 180° - 138° \)

\( 2 \angle OBA = 42° \)

\( \angle OBA = \frac{42°}{2} \)

\( \angle OBA = 21° \)

Ответ: 21