4. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка N - середина ребра DD₁. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку N параллельно плоскости DA₁C₁, если площадь треугольника DA₁C₁ равна 52 см².

1. Построим сечение. Плоскость, проходящая через точку N параллельно плоскости DA₁C₁, пересечет грани AA₁D₁D и CC₁D₁D по прямым, параллельным A₁D и C₁D соответственно. Получим точки K и L на ребрах AA₁ и CC₁ соответственно. Таким образом, KN || DA₁ и NL || DC₁. 2. Плоскость сечения пересечет грани AA₁B₁B и CC₁B₁B по прямым, параллельным A₁C₁. Получим точки M и P на ребрах A₁B₁ и C₁B₁ соответственно. Таким образом, KM || A₁C₁ и LP || A₁C₁. 3. Получившееся сечение - шестиугольник KNMLP, параллельный плоскости DA₁C₁. 4. Рассмотрим треугольник DA₁C₁ и KNMLP. Так как плоскости параллельны и N - середина DD₁, то сечение KNMLP будет представлять собой "уменьшенную" копию треугольника DA₁C₁ в масштабе 1/2. 5. Площадь подобной фигуры относится к площади исходной как квадрат коэффициента подобия. То есть, S(KNMLP) = (1/2)² * S(DA₁C₁) = 1/4 * S(DA₁C₁). 6. S(KNMLP) = 1/4 * 52 см² = 13 см². **Ответ:** Площадь сечения равна 13 см².