Пусть длина каждого ребра призмы равна `a`.
1. Введем систему координат с началом в точке A, осью x вдоль AB, осью y в плоскости ABC перпендикулярно AB, и осью z вдоль AA₁.
2. Тогда координаты точек будут следующими:
* A(0, 0, 0)
* B(a, 0, 0)
* B₁(a, 0, a)
* D₁( -a/2, a√3, a)
3. Найдем координаты векторов AB₁ и BD₁:
* AB₁ = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)
* BD₁ = (-a/2 - a, a√3 - 0, a - 0) = (-3a/2, a√3, a)
4. Косинус угла между векторами находится по формуле:
\[\cos(\alpha) = \frac{AB₁ \cdot BD₁}{|AB₁| \cdot |BD₁|}\]
5. Найдем скалярное произведение AB₁ · BD₁:
* AB₁ · BD₁ = (a * (-3a/2)) + (0 * a√3) + (a * a) = -3a²/2 + 0 + a² = -a²/2
6. Найдем длины векторов:
* |AB₁| = √(a² + 0² + a²) = √(2a²) = a√2
* |BD₁| = √((-3a/2)² + (a√3)² + a²) = √(9a²/4 + 3a² + a²) = √(9a²/4 + 12a²/4 + 4a²/4) = √(25a²/4) = 5a/2
7. Подставим в формулу косинуса:
* cos(α) = (-a²/2) / (a√2 * 5a/2) = (-a²/2) / (5a²√2 / 2) = -1 / (5√2) = -√2 / 10
**Ответ:** Косинус угла между прямыми AB₁ и BD₁ равен -√2 / 10.