4. В треугольнике ABC AB = 16 см, ∠B = 40°, ∠A = 30°. Найдите ∠C, стороны AC и BC, периметр описанной окружности.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\(\angle C=180^\circ-30^\circ-40^\circ=110^\circ\).

По теореме синусов, поскольку \(AB\) лежит напротив угла \(C\):

\(\frac{AB}{\sin C}=2R\), поэтому \(2R=\frac{16}{\sin110^\circ}=\frac{16}{\sin70^\circ}\).

Сторона \(AC\) лежит напротив угла \(B\), а \(BC\) — напротив угла \(A\):

\(AC=\frac{16\sin40^\circ}{\sin110^\circ}\approx10.93\) см,

\(BC=\frac{16\sin30^\circ}{\sin110^\circ}\approx8.51\) см.

Периметр описанной окружности равен \(2\pi R\):

\(P=\pi\cdot2R=\frac{16\pi}{\sin70^\circ}\approx53.52\) см.

Ответ: \(\angle C=110^\circ\); \(AC\approx10.93\) см; \(BC\approx8.51\) см; периметр описанной окружности \(\approx53.52\) см.