5. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°, а боковая сторона равна 14 см. Найдите периметр, высоту, проведённую к боковой стороне, и биссектрису угла при основании.

Углы при основании равны 30°, поэтому угол при вершине равен \(120^\circ\). Обе боковые стороны равны 14 см.

Основание по теореме косинусов: \(b^2=14^2+14^2-2\cdot14^2\cos120^\circ=588\), значит, \(b=14\sqrt3\) см. Периметр: \(P=28+14\sqrt3\approx52.25\) см.

Площадь равна \(S=\frac12\cdot14\cdot14\sin120^\circ=49\sqrt3\) см². Высота к боковой стороне длиной 14 см: \(h=\frac{2S}{14}=7\sqrt3\) см.

Длина биссектрисы угла при основании, прилежащие стороны которого равны 14 и \(14\sqrt3\) см:

\(l=\frac{2\cdot14\cdot14\sqrt3\cos15^\circ}{14+14\sqrt3}=\frac{28\sqrt3\cos15^\circ}{1+\sqrt3}\approx12.54\) см.

Ответ: периметр \(28+14\sqrt3\) см; высота к боковой стороне \(7\sqrt3\) см; биссектриса угла при основании \(\frac{28\sqrt3\cos15^\circ}{1+\sqrt3}\approx12.54\) см.