4. В треугольнике ABC AB = 16 см, ∠B = 40°, ∠A = 30°. Найдите ∠C, стороны AC и BC, площадь описанной окружности.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle C=180^\circ-30^\circ-40^\circ=110^\circ\).

По теореме синусов, поскольку сторона \(AB=16\) см лежит напротив угла \(C\):

\[AC=\frac{16\sin40^\circ}{\sin110^\circ}\approx10.93\text{ см},\qquad BC=\frac{16\sin30^\circ}{\sin110^\circ}\approx8.51\text{ см}.\]

Площадь описанной окружности зависит от её радиуса. Радиус описанной окружности равен \(R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{8}{\sin110^\circ}\). Поэтому

\[S=\pi R^2=\frac{64\pi}{\sin^2 110^\circ}\approx227.45\text{ см}^2.\]

Ответ: \(\angle C=110^\circ\); \(AC\approx10.93\) см; \(BC\approx8.51\) см; площадь описанной окружности \(\approx227.45\) см².