4. В треугольнике MNP известно, что MN = 6 см, MP = 8 см, ∠P = 45°. Вычислить ∠N и сторону NP.

По теореме синусов \(\dfrac{MP}{\sin N}=\dfrac{MN}{\sin P}\), поэтому \(\sin N=\dfrac{8\sin45^\circ}{6}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\). Синус одинаков у двух углов в пределах от 0° до 180°: отсюда возможны два значения \(\angle N\), приблизительно 70,53° и 109,47°.

Если \(\cos N=\frac13\), то \(\angle N\approx70{,}53^\circ\), а \(\angle M=180^\circ-45^\circ-\angle N\). По теореме синусов \(NP=\dfrac{MN\sin M}{\sin45^\circ}=1+2\sqrt2\) см.

Если \(\cos N=-\frac13\), то \(\angle N\approx109{,}47^\circ\). Тогда по теореме синусов \(NP=\dfrac{MN\sin M}{\sin45^\circ}=2\sqrt2-1\) см.

Оба случая удовлетворяют данным задачи: это неоднозначный случай теоремы синусов.

Ответ: возможны \(\angle N\approx70{,}53^\circ\), \(NP=1+2\sqrt2\) см, или \(\angle N\approx109{,}47^\circ\), \(NP=2\sqrt2-1\) см.