4. Верно ли утверждение: в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон?

Утверждение: В равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Решение:

1. Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$BC$$. $$AB = AC$$.
2. Пусть $$M$$ — середина основания $$BC$$.
3. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
4. Опустим перпендикуляры из точки $$M$$ на боковые стороны $$AB$$ и $$AC$$. Обозначим точки пересечения $$P$$ и $$K$$ соответственно. $$MP \bot AB$$, $$MK \bot AC$$.
5. Нам нужно доказать, что $$MP = MK$$.
6. Рассмотрим $$\triangle AMB$$ и $$\triangle AMC$$. $$AB = AC$$ (по условию), $$BM = MC$$ (так как $$M$$ — середина $$BC$$), $$AM$$ — общая сторона. Следовательно, $$\triangle AMB = \triangle AMC$$ по трем сторонам (3 признак равенства треугольников).
7. Из равенства треугольников следует, что $$\angle BAM = \angle CAM$$. То есть $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$.
8. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AMP$$ и $$\triangle AMK$$.
• $$AM$$ — общая гипотенуза.
• $$\angle PAM = \angle KAM$$ (так как $$AM$$ — биссектриса).
9. Следовательно, $$\triangle AMP = \triangle AMK$$ по гипотенузе и острому углу (4 признак равенства прямоугольных треугольников).
10. Из равенства треугольников следует, что $$MP = MK$$.

Вывод: Утверждение верно.

Ответ: Верно