4. Внесите множитель под знак корня. Первый столбец: а) (1/(3x))√(−27x); б) ab²√(1/(a³b⁴)). Второй столбец: а) (2/x)√(−x/8); б) (1/(a⁴b))√(a⁸b³).

Для внесения множителя под корень возводим его в квадрат. Если множитель отрицательный, минус оставляем перед корнем.

Первый столбец.

а) Из условия подкоренного выражения и знаменателя следует x < 0, поэтому 1/(3x) < 0:

\(\frac{1}{3x}\sqrt{-27x}=-\sqrt{\left(\frac{1}{3x}\right)^2(-27x)}=-\sqrt{-\frac{3}{x}}\).

б) Для исходного выражения a > 0 и b ≠ 0, поэтому ab² > 0:

\(ab^2\sqrt{\frac{1}{a^3b^4}}=\sqrt{a^2b^4\cdot\frac{1}{a^3b^4}}=\sqrt{\frac{1}{a}}\).

Второй столбец.

а) Здесь x < 0, поэтому 2/x < 0:

\(\frac{2}{x}\sqrt{-\frac{x}{8}}=-\sqrt{\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(-\frac{x}{8}\right)}=-\sqrt{-\frac{1}{2x}}\).

б) Для исходного выражения a ≠ 0 и b > 0, поэтому 1/(a⁴b) > 0:

\(\frac{1}{a^4b}\sqrt{a^8b^3}=\sqrt{\frac{a^8b^3}{a^8b^2}}=\sqrt{b}\).