4. Вычислите: а) (6^15 * 6^11) / 6^24; б) (5^3 * 3^16) / (9 * 225^7)

Решение:

1. а) \(\frac\){6^{15} \(\times\) 6^{11}}{6^{24}}
   1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются (a^m * a^n = a^{m+n}):
   2. \[\frac{6^{15 + 11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}}\]
   3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются (a^m / a^n = a^{m-n}):
   4. \[6^{26 - 24} = 6^2\]
   5. \[6^2 = 36\]
2. б) \(\frac\){5^3 \(\times\) 3^{16}}{9 \(\times\) 225^7}
   1. Представим числа в виде простых множителей:
   2. \[9 = 3^2\]
   3. \[225 = 15^2 = (3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2\]
   4. Подставим эти значения в выражение:
   5. \[\frac{5^3 \times 3^{16}}{3^2 \times (3^2 \times 5^2)^7}\]
   6. Возведём степень в степень ( (a^m)^n = a^{m*n} ):
   7. \[\frac{5^3 \times 3^{16}}{3^2 \times 3^{14} \times 5^{14}}\]
   8. Сложим показатели степеней с одинаковым основанием в знаменателе:
   9. \[\frac{5^3 \times 3^{16}}{3^{2+14} \times 5^{14}} = \frac{5^3 \times 3^{16}}{3^{16} \times 5^{14}}\]
   10. Сократим 3^16:
   11. \[\frac{5^3}{5^{14}}\]
   12. Вычтем показатели степеней:
   13. \[5^{3 - 14} = 5^{-11}\]
   14. \[\frac{1}{5^{11}}\]

Ответ: а) 36; б) \(\frac{1}\){5^{11}}