4. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Апофема равностороннего основания равна трети его высоты: \(r=6/3=2\) см. В сечении, перпендикулярном стороне основания, угол между апофемой основания и апофемой пирамиды равен 45°.

1. Апофема пирамиды: \(l=r/\cos45^\circ=2\sqrt2\) см.
2. Сторона основания: \(a=2\cdot6/\sqrt3=4\sqrt3\) см, значит периметр равен \(12\sqrt3\) см.
3. Боковая площадь: \(S_{бок}=Pl/2=(12\sqrt3)(2\sqrt2)/2=12\sqrt6\) см².

Ответ: \(12\sqrt6\) см².