6. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной a. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна её основанию, а две боковые грани, соседние с ней, образуют с основанием двугранные углы по 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Обозначим квадрат основания ABCD, а вершину пирамиды — S; пусть грань SAB перпендикулярна основанию. Проекция S на основание лежит на AB. У соседних рёбер основания AD и BC высота пирамиды одна и та же, поэтому из двугранных углов 60° следует, что расстояния проекции S до AD и BC равны. Значит, проекция — середина AB, а высота пирамиды равна \(\frac{\sqrt3}{2}a\).

1. Площадь основания: \(a^2\).
2. Площадь SAB: \(\frac12a\cdot\frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt3}{4}a^2\).
3. Для каждой из двух соседних граней и грани напротив SAB высота к стороне основания равна \(\sqrt{(\frac{\sqrt3}{2}a)^2+(\frac a2)^2}=a\). Площадь каждой такой грани равна \(a^2/2\).

Итак, \(S_{полн}=a^2+\frac{\sqrt3}{4}a^2+3\cdot\frac{a^2}{2}=(\frac52+\frac{\sqrt3}{4})a^2\).

Ответ: \((\frac52+\frac{\sqrt3}{4})a^2\).