4^x + 2^{x+2} - 12 = 0.

Решение:

Давай преобразуем это уравнение, чтобы оно стало похожим на квадратное. Помни, что

a^(m+n) = a^m * a^n

и

(a^m)^n = a^(m*n)

.

Так,

4^x = (2^2)^x = 2^(2x) = (2^x)^2

.

А

2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 2^x * 4

.

Теперь подставим это в наше уравнение:

(2^x)^2 + 4 * 2^x - 12 = 0

Введем замену переменной. Пусть

t = 2^x

. Поскольку

2^x

всегда больше нуля, то

t > 0

.

Наше уравнение теперь выглядит так:

t^2 + 4t - 12 = 0

Решим это квадратное уравнение для

t

. Дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64

sqrt(D) = 8

Найдем корни для

t

:

t1 = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2

t2 = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6

Теперь вернемся к нашей замене

t = 2^x

.

У нас два случая:

1. 
   
   2^x = t1 = 2
   
   . Поскольку
   
   2^1 = 2
   
   , то
   
   x = 1
   
   . Этот корень подходит, так как
   
   t > 0
   
   .
2. 
   
   2^x = t2 = -6
   
   . Это уравнение не имеет решений, потому что
   
   2^x
   
   всегда положительно, а -6 отрицательное число.

Таким образом, у нас только один корень.

Ответ: x = 1