log5(x+3) = 2-log5(2x+1);

Решение:

Для начала, давай упростим логарифмическое уравнение. Помни, что

log_b(x) + log_b(y) = log_b(x*y)

и

log_b(b^k) = k

. Так как у нас разность логарифмов, мы можем использовать свойство

log_b(x) - log_b(y) = log_b(x/y)

. Также, мы можем представить константу 2 как логарифм по основанию 5:

2 = log_5(5^2) = log_5(25)

. Теперь подставим это в наше уравнение:

log_5(x+3) = log_5(25) - log_5(2x+1)

log_5(x+3) = log_5(25 / (2x+1))

Теперь, когда основания логарифмов одинаковые, мы можем приравнять аргументы:

x+3 = 25 / (2x+1)

Умножим обе стороны на (2x+1), чтобы избавиться от знаменателя:

(x+3)(2x+1) = 25

Раскроем скобки:

2x^2 + x + 6x + 3 = 25

2x^2 + 7x + 3 - 25 = 0

2x^2 + 7x - 22 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = 7^2 - 4 * 2 * (-22)

D = 49 + 176

D = 225

sqrt(D) = 15

Теперь найдем корни:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-7 + 15) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-7 - 15) / (2 * 2) = -22 / 4 = -5.5

Важно! Не забываем проверить, чтобы аргументы логарифмов были положительными:

x+3 > 0 => x > -3

2x+1 > 0 => 2x > -1 => x > -0.5

Из этих условий следует, что x > -0.5.

Проверяем наши корни:

• x1 = 2. Этот корень удовлетворяет условию x > -0.5.
• x2 = -5.5. Этот корень не удовлетворяет условию x > -0.5.

Значит, у нас есть только один подходящий корень.