Решите неравенство log3 x ≤ 11-x.

Решение:

Это неравенство содержит логарифм и линейную функцию. Решать будем методом построения графиков и анализа.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Для логарифма

log3(x)

аргумент должен быть положительным:

x > 0

2. Построение графиков функций:

Рассмотрим две функции:

• 
  
  y1 = log3(x)
  
  (логарифмическая функция)
• 
  
  y2 = 11 - x
  
  (линейная функция)

График y1 = log3(x):

• Это возрастающая функция, так как основание логарифма (3) больше 1.
• Проходит через точку (1, 0), так как
  
  log3(1) = 0
  
  .
• Проходит через точку (3, 1), так как
  
  log3(3) = 1
  
  .
• Проходит через точку (9, 2), так как
  
  log3(9) = 2
  
  .
• Асимптота — ось Y (x=0).

График y2 = 11 - x:

• Это убывающая функция.
• Точка пересечения с осью X (y=0):
  
  11 - x = 0 => x = 11
  
  . Точка (11, 0).
• Точка пересечения с осью Y (x=0):
  
  y = 11 - 0 = 11
  
  . Точка (0, 11).

3. Находим точки пересечения графиков:

Нам нужно решить уравнение:

log3(x) = 11 - x

Такое уравнение обычно решается подбором целых корней, если они существуют.

Попробуем подставить значения, которые мы знаем для логарифма:

• Если
  
  x = 1
  
  , то
  
  log3(1) = 0
  
  , а
  
  11 - 1 = 10
  
  .
  
  0 ≠ 10
  
  .
• Если
  
  x = 3
  
  , то
  
  log3(3) = 1
  
  , а
  
  11 - 3 = 8
  
  .
  
  1 ≠ 8
  
  .
• Если
  
  x = 9
  
  , то
  
  log3(9) = 2
  
  , а
  
  11 - 9 = 2
  
  .
  
  2 = 2
  
  . Мы нашли точку пересечения!
  
  x = 9
  
  .

4. Анализ неравенства:

Мы ищем, где график

y1 = log3(x)

находится ниже или на одном уровне с графиком

y2 = 11 - x

.

• График
  
  y1 = log3(x)
  
  — возрастающий.
• График
  
  y2 = 11 - x
  
  — убывающий.

Они пересекаются в одной точке

x = 9

. До этой точки (при

x < 9

) логарифм растет, а прямая убывает. После точки пересечения (при

x > 9

) логарифм продолжает расти, а прямая продолжает убывать.

Нам нужно, чтобы

log3(x) ≤ 11 - x

.

Это означает, что график логарифма должен быть ниже графика прямой.

Это происходит при

x

, где логарифм меньше или равен значению прямой. Так как логарифм растет, а прямая убывает, логарифм будет ниже прямой до точки их пересечения.

Учитывая ОДЗ (

x > 0

) и точку пересечения (

x = 9

), мы получаем, что неравенство выполняется при:

0 < x ≤ 9

Ответ: (0; 9]