При каких значениях параметра а уравнение 2^{x} - 2^{-x+2} + 4a - a² = 0 имеет один корень?

Решение:

Давайте преобразуем данное уравнение, чтобы понять, как оно зависит от параметра a и переменной x.

Уравнение:

2^{x} - 2^{-x+2} + 4a - a² = 0

Перепишем

2^{-x+2}

:

2^{-x+2} = 2^{-x} * 2^2 = 2^{-x} * 4 = 4 / 2^x

Подставим это в уравнение:

2^{x} - 4 / 2^x + 4a - a² = 0

Теперь введем замену переменной. Пусть

t = 2^x

. Так как

2^x

всегда больше нуля, то

t > 0

.

Уравнение принимает вид:

t - 4 / t + 4a - a² = 0

Умножим все на

t

(учитывая, что

t > 0

, мы не меняем знак неравенства, если бы оно было):

t² - 4 + (4a - a²)t = 0

t² + (4a - a²)t - 4 = 0

Это квадратное уравнение относительно

t

. Нам нужно, чтобы исходное уравнение имело один корень по

x

. Это будет происходить в следующих случаях:

1. Квадратное уравнение для
   
   t
   
   имеет один положительный корень
   
   t > 0
   
   .
2. Квадратное уравнение для
   
   t
   
   имеет два корня, один из которых положительный (
   
   t > 0
   
   ), а другой — неположительный (
   
   t ≤ 0
   
   ).

Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения для

t

:

D = (4a - a²)² - 4 * 1 * (-4)

D = (4a - a²)² + 16

Заметим, что

(4a - a²)² ≥ 0

для любого действительного

a

. Следовательно,

D = (4a - a²)² + 16 ≥ 16

. Это означает, что дискриминант всегда положителен, и квадратное уравнение для

t

всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть эти корни

t₁

и

t₂

. По теореме Виета:

t₁ + t₂ = -(4a - a²) = a² - 4a

t₁ * t₂ = -4

Так как произведение корней

t₁ * t₂ = -4

отрицательно, это означает, что один корень всегда положительный, а другой — всегда отрицательный. Пусть

t₁ > 0

и

t₂ < 0

.

Вспомним нашу замену

t = 2^x

. Поскольку

2^x

всегда больше нуля, то нам подходит только положительный корень

t₁

.

2^x = t₁

Из этого уравнения мы получим ровно один корень по

x

, так как

t₁

всегда положительно.

Таким образом, условие, что уравнение для

t

имеет один положительный корень, выполняется всегда, независимо от значения

a

, потому что произведение корней отрицательно.

Следовательно, исходное уравнение имеет один корень по

x

при любых значениях параметра

a

.

Ответ:

a ∈ R

(любые действительные значения).