Решите неравенство для различных значений параметра а √x² - 7x + 10(x - a) ≥ 0.

Решение:

Это неравенство содержит корень и параметр. Нам нужно рассмотреть разные случаи в зависимости от значений параметра

a

.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

x² - 7x + 10 ≥ 0

Найдем корни квадратного трехчлена

x² - 7x + 10 = 0

:

D = (-7)² - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9

sqrt(D) = 3

x₁ = (7 - 3) / 2 = 4 / 2 = 2

x₂ = (7 + 3) / 2 = 10 / 2 = 5

Так как парабола

y = x² - 7x + 10

направлена ветвями вверх,

x² - 7x + 10 ≥ 0

при

x ≤ 2

или

x ≥ 5

.

2. Анализ неравенства:

Неравенство имеет вид

sqrt(M) * (x - a) ≥ 0

, где

M = x² - 7x + 10

.

У нас есть два случая, когда произведение двух множителей неотрицательно:

1. Оба множителя неотрицательны:
• 
  
  sqrt(M) ≥ 0
  
  (это выполняется всегда, когда
  
  M ≥ 0
  
  , то есть при
  
  x ≤ 2
  
  или
  
  x ≥ 5
  
  )
• 
  
  x - a ≥ 0
  
  , что означает
  
  x ≥ a
  
  .
2. Оба множителя неположительны:
• 
  
  sqrt(M) ≤ 0
  
  (это выполняется только когда
  
  sqrt(M) = 0
  
  , то есть при
  
  x = 2
  
  или
  
  x = 5
  
  ).
• 
  
  x - a ≤ 0
  
  , что означает
  
  x ≤ a
  
  .

3. Рассматриваем различные случаи в зависимости от

a

:

Случай 1:

a ≤ 2

• Из ОДЗ:
  
  x ≤ 2
  
  или
  
  x ≥ 5
  
  .
• Из второго множителя (
  
  x - a ≥ 0
  
  ):
  
  x ≥ a
  
  .
• Так как
  
  a ≤ 2
  
  , условие
  
  x ≥ a
  
  совместно с
  
  x ≤ 2
  
  дает интервал
  
  [a, 2]
  
  .
• Также,
  
  x ≥ 5
  
  удовлетворяет
  
  x ≥ a
  
  (поскольку
  
  a ≤ 2 < 5
  
  ).
• Таким образом, при
  
  a ≤ 2
  
  , решением является объединение интервалов:
  
  [a, 2] ∪ [5, +∞)
  
  .

Случай 2:

2 < a < 5

• Из ОДЗ:
  
  x ≤ 2
  
  или
  
  x ≥ 5
  
  .
• Из второго множителя (
  
  x - a ≥ 0
  
  ):
  
  x ≥ a
  
  .
• Рассмотрим пересечение условий:
• 
  
  x ≤ 2
  
  и
  
  x ≥ a
  
  . Так как
  
  a > 2
  
  , эти условия несовместны (нет таких
  
  x
  
  ).
• 
  
  x ≥ 5
  
  и
  
  x ≥ a
  
  . Так как
  
  a < 5
  
  , условие
  
  x ≥ a
  
  вместе с
  
  x ≥ 5
  
  дает
  
  x ≥ 5
  
  .
• Также рассмотрим случай, когда оба множителя неположительны:
• 
  
  x = 2
  
  или
  
  x = 5
  
  .
• 
  
  x ≤ a
  
  .
• Если
  
  x = 2
  
  , то
  
  2 ≤ a
  
  , что выполняется, так как
  
  a > 2
  
  .
• Если
  
  x = 5
  
  , то
  
  5 ≤ a
  
  , что не выполняется, так как
  
  a < 5
  
  .
• Таким образом, при
  
  2 < a < 5
  
  , решением является объединение:
  
  {2} ∪ [5, +∞)
  
  .

Случай 3:

a ≥ 5

• Из ОДЗ:
  
  x ≤ 2
  
  или
  
  x ≥ 5
  
  .
• Из второго множителя (
  
  x - a ≥ 0
  
  ):
  
  x ≥ a
  
  .
• Рассмотрим пересечение условий:
• 
  
  x ≤ 2
  
  и
  
  x ≥ a
  
  . Так как
  
  a ≥ 5
  
  , эти условия несовместны.
• 
  
  x ≥ 5
  
  и
  
  x ≥ a
  
  . Так как
  
  a ≥ 5
  
  , эти условия дают
  
  x ≥ a
  
  .
• Также рассмотрим случай, когда оба множителя неположительны:
• 
  
  x = 2
  
  или
  
  x = 5
  
  .
• 
  
  x ≤ a
  
  .
• Если
  
  x = 2
  
  , то
  
  2 ≤ a
  
  , что выполняется, так как
  
  a ≥ 5
  
  .
• Если
  
  x = 5
  
  , то
  
  5 ≤ a
  
  , что выполняется, так как
  
  a ≥ 5
  
  .
• Таким образом, при
  
  a ≥ 5
  
  , решением является объединение:
  
  {2, 5} ∪ [a, +∞)
  
  .

Сводка решений:

• Если
  
  a ≤ 2
  
  , то
  
  x ∈ [a, 2] ∪ [5, +∞)
  
  .
• Если
  
  2 < a < 5
  
  , то
  
  x ∈ {2} ∪ [5, +∞)
  
  .
• Если
  
  a ≥ 5
  
  , то
  
  x ∈ {2, 5} ∪ [a, +∞)
  
  .