При каких значениях параметра а уравнение x³ - x - 1 = а имеет три корня?

Решение:

Чтобы определить, при каких значениях параметра

a

уравнение

x³ - x - 1 = a

имеет три корня, нам нужно проанализировать функцию

f(x) = x³ - x - 1

.

График функции

f(x) = x³ - x - 1

представляет собой кубическую параболу. Прямая

y = a

, параллельная оси X, будет пересекать эту кривую в трех точках только в том случае, если она проходит между локальными максимумом и минимумом этой функции.

1. Находим производную функции:

f'(x) = (x³ - x - 1)'

f'(x) = 3x² - 1

2. Находим критические точки (где производная равна нулю):

3x² - 1 = 0

3x² = 1

x² = 1/3

x = ±sqrt(1/3) = ±1/sqrt(3) = ±sqrt(3)/3

Критические точки:

x₁ = -sqrt(3)/3

и

x₂ = sqrt(3)/3

.

3. Определяем значения функции в критических точках (локальные экстремумы):

Найдем значение

f(x)

в этих точках:

Для

x = -sqrt(3)/3

(это будет локальный максимум, так как перед старшим членом кубической параболы стоит плюс, а мы рассматриваем левую критическую точку):

f(-sqrt(3)/3) = (-sqrt(3)/3)³ - (-sqrt(3)/3) - 1

f(-sqrt(3)/3) = -(3*sqrt(3))/27 + sqrt(3)/3 - 1

f(-sqrt(3)/3) = -sqrt(3)/9 + 3*sqrt(3)/9 - 1

f(-sqrt(3)/3) = 2*sqrt(3)/9 - 1

Для

x = sqrt(3)/3

(это будет локальный минимум):

f(sqrt(3)/3) = (sqrt(3)/3)³ - (sqrt(3)/3) - 1

f(sqrt(3)/3) = (3*sqrt(3))/27 - sqrt(3)/3 - 1

f(sqrt(3)/3) = sqrt(3)/9 - 3*sqrt(3)/9 - 1

f(sqrt(3)/3) = -2*sqrt(3)/9 - 1

4. Условие для трех корней:

Чтобы уравнение

x³ - x - 1 = a

имело три корня, значение

a

должно находиться строго между значением локального минимума и локального максимума.

f_min < a < f_max

-2*sqrt(3)/9 - 1 < a < 2*sqrt(3)/9 - 1

Ответ: При

a

, принадлежащем интервалу

(-1 - 2*sqrt(3)/9; -1 + 2*sqrt(3)/9)

, уравнение имеет три корня.