№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением S(t) = \( \frac{1}{3} t^3 + 4t^2 + 1 \). Найдите скорость и ускорение в момент времени t=4с, если S – путь (м), t – время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути по времени \( S'(t) \), а ускорение \( a(t) \) — это вторая производная от пути по времени \( S''(t) \), или первая производная от скорости \( v'(t) \).

1. Найдем скорость \( v(t) \): \( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3} t^3 + 4t^2 + 1 \right) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 \cdot 2t + 0 = t^2 + 8t \).
2. Найдем ускорение \( a(t) \): \( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (t^2 + 8t) = 2t + 8 \).
3. Подставим \( t = 4 \) с в найденные выражения для скорости и ускорения:
• Скорость в момент \( t=4 \) с: \( v(4) = 4^2 + 8 \cdot 4 = 16 + 32 = 48 \) м/с.
• Ускорение в момент \( t=4 \) с: \( a(4) = 2 \cdot 4 + 8 = 8 + 8 = 16 \) м/с².

Ответ: Скорость равна \( 48 \) м/с, ускорение равно \( 16 \) м/с².