№9. В треугольнике ABC AC = BC=5, sinB = \( \frac{3}{5} \). Найдите АВ.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AB \). Углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

1. По условию \( \sin B = \frac{3}{5} \). Поскольку \( \angle A = \angle B \), то \( \sin A = \sin B = \frac{3}{5} \).
2. По теореме синусов для \( \triangle ABC \): \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \).
3. Из равенства \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \) найдем \( AB \), если знаем \( \sin C \).
4. Найдем \( \cos B \) из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \).
5. \( \cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).
6. Так как \( B \) — угол треугольника, \( \cos B = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (предполагаем, что \( B \) — острый угол, так как \( \sin B > 0 \)).
7. Сумма углов треугольника \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \). \( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) \).
8. \( \sin C = \sin(180^{\circ} - (A+B)) = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \).
9. \( \cos A = \cos B = \frac{4}{5} \).
10. \( \sin C = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25} \).
11. Теперь используем теорему синусов: \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \).
12. \( \frac{AB}{\frac{24}{25}} = \frac{5}{\frac{3}{5}} \).
13. \( \frac{AB}{\frac{24}{25}} = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3} \).
14. \( AB = \frac{25}{3} \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{3} = 8 \).

Ответ: AB = 8.