40. На координатной плоскости изображены векторы а, b и с. Вектор с разложен по двум неколлинеарным векторам а и b: с = kа + lb. Где k и l — коэффициенты разложения. Найдите k.

Решение:

Определим координаты векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) по графику:

• \(\vec{a}\) имеет координаты \((2, 1)\).
• \(\vec{b}\) имеет координаты \((1, -1)\).
• \(\vec{c}\) имеет координаты \((3, -2)\).

Условие разложения вектора \(\vec{c}\) по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеет вид:

\[ \vec{c} = k \vec{a} + l \vec{b} \]

Подставим координаты векторов:

\[ (3; -2) = k(2; 1) + l(1; -1) \]\[ (3; -2) = (2k; k) + (l; -l) \]\[ (3; -2) = (2k + l; k - l) \]

Получаем систему уравнений:

• \( 2k + l = 3 \)
• \( k - l = -2 \)

Сложим два уравнения, чтобы исключить \( l \):

\[ (2k + l) + (k - l) = 3 + (-2) \]\[ 3k = 1 \]\[ k = \frac{1}{3} \]

Ответ: 1/3.