406. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Пусть \(\vec u=(x_1;y_1;z_1)\) и \(\vec v=(x_2;y_2;z_2)\). По определению координат вектора его разложение по координатным векторам имеет вид \(\vec u=x_1\vec i+y_1\vec j+z_1\vec k\), \(\vec v=x_2\vec i+y_2\vec j+z_2\vec k\).

Складывая разложения по одноимённым координатным векторам, получаем \(\vec u+\vec v=(x_1+x_2)\vec i+(y_1+y_2)\vec j+(z_1+z_2)\vec k\). Значит, \(\vec u+\vec v=(x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2)\).

Аналогично, вычитая разложения, получаем \(\vec u-\vec v=(x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2)\). Следовательно, координаты суммы и разности равны соответственно суммам и разностям соответствующих координат.