41. Доказать тождество $\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ при $a>0$, $b>0$, $a^2-b>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 41. Доказать тождество $\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ при $a>0$,…$ Фото задания

41. Доказать тождество $\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ при $a>0$, $b>0$, $a^2-b>0$.

Accepted Answer

Обозначим правую часть через $S$. Оба подкоренных выражения неотрицательны: из $a>0$ и $a^2-b>0$ следует \(0<\sqrt{a^2-b}

Возведём сумму в квадрат:

\[S^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2+2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}4}.\]

Сумма первых двух слагаемых равна $a$, а последнее слагаемое равно $\sqrt b$, поскольку $b>0$. Поэтому $S^2=a+\sqrt b$. Так как $S\ge0$, получаем $S=\sqrt{a+\sqrt b}$.

Тождество доказано.

41. Доказать тождество \(\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\) при \(a>0\), \(b>0\), \(a^2-b>0\).

Ответ: