41. Тип 17 № 528147 Найдите корень уравнения 3^2x-4*3^x = 1.

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя свойства степеней: \( (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 1 = 0 \).
2. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 4y - 1 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20 \).
4. Найдем корни для \( y \): \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \].
5. Получаем два возможных значения для \( y \): \( y_1 = 2 + \sqrt{5} \) и \( y_2 = 2 - \sqrt{5} \).
6. Вернёмся к замене \( y = 3^x \).
7. \( 3^x = 2 + \sqrt{5} \). Возьмём логарифм по основанию 3 от обеих частей: \( x = \log_3(2 + \sqrt{5}) \).
8. \( 3^x = 2 - \sqrt{5} \). Так как \( 2 - \sqrt{5} < 0 \) (приблизительно \( 2 - 2.23 = -0.23 \)), это уравнение не имеет действительных решений, поскольку степень с действительным показателем всегда положительна.

Ответ: x = \(\log_3(2 + \sqrt{5})\).