410. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства: √(2 2/3) = 2√(2/3), √(3 2/3) = 3√(3/8), √(4 4/15) = 4√(4/15). Выясните, каким должно быть соотношение между числителем и знаменателем дроби a/b, чтобы было верно равенство √(a + a/b) = a√(a/b), где a ∈ N и b ∈ N. 1) Возведите в квадрат обе части равенства. 2) Установите, каким должно быть соотношение между a и b. 3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

Проверим примеры: 2 2/3 = 8/3, и √(8/3) = 2√(2/3); 3 2/3 = 11/3, тогда как (3√(3/8))² = 27/8, а 11/3 ≠ 27/8. Однако изображённый пример, вероятно, содержит дробь 2/3 под корнем справа: равенство √(3 2/3) = 3√(2/3) неверно, поскольку квадраты равны 11/3 и 6. Для третьего примера 4 4/15 = 64/15, и (4√(4/15))² = 64/15, поэтому равенство верно. Во втором примере на фотографии справа читается 3√(3/8); при таком прочтении равенство неверно.

Возведём обе части общего равенства в квадрат. Поскольку a и b — натуральные числа, обе части неотрицательны, поэтому преобразование допустимо:

a + a/b = a² · a/b.

Умножая на b и деля на положительное a, получаем:

ab + a = a³,

b + 1 = a², следовательно, b = a² − 1.

Проверка на примерах: при a = 2, b = 3 получаем √(2 + 2/3) = √(8/3) = 2√(2/3); при a = 3, b = 8 получаем √(3 + 3/8) = √(27/8) = 3√(3/8); при a = 4, b = 15 получаем √(4 + 4/15) = √(64/15) = 4√(4/15).

Ответ: равенство выполняется тогда и только тогда, когда b = a² − 1.