411. Найдите площадь квадрата, если: a) радиус вписанной в него окружности равен 9; б) радиус описанной около него окружности равен 7; в) радиус вписанной в него окружности равен 11; г) радиус описанной около него окружности равен 5.

Решение:

а)

1. Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине стороны квадрата: \( r = \frac{a}{2} \).
2. Сторона квадрата \( a = 2r = 2 \cdot 9 = 18 \).
3. Площадь квадрата \( S = a^2 = 18^2 = 324 \).

б)

1. Радиус описанной окружности \( R \) равен половине диагонали квадрата: \( R = \frac{d}{2} \).
2. Диагональ квадрата \( d = 2R = 2 \cdot 7 = 14 \).
3. Диагональ квадрата связана со стороной по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).
4. Найдем сторону: \( 14^2 = 2a^2 \Rightarrow 196 = 2a^2 \Rightarrow a^2 = 98 \).
5. Площадь квадрата \( S = a^2 = 98 \).

в)

1. Сторона квадрата \( a = 2r = 2 \cdot 11 = 22 \).
2. Площадь квадрата \( S = a^2 = 22^2 = 484 \).

г)

1. Диагональ квадрата \( d = 2R = 2 \cdot 5 = 10 \).
2. Найдем сторону: \( 10^2 = 2a^2 \Rightarrow 100 = 2a^2 \Rightarrow a^2 = 50 \).
3. Площадь квадрата \( S = a^2 = 50 \).

Ответ: а) 324; б) 98; в) 484; г) 50.