414. Найдите площадь прямоугольника, если: a) его периметр равен 74, а одна из сторон на 3 больше другой; б) его периметр равен 56, а одна из сторон в 3 раза больше другой; в) его периметр равен 68, а отношение соседних сторон равно 7:10; г) его периметр равен 64, а отношение соседних сторон 5:11.

Решение:

а)

1. Периметр прямоугольника \( P = 2(a+b) \).
2. Пусть одна сторона \( b \), тогда другая \( a = b+3 \).
3. \( 2(b+3+b) = 74 \Rightarrow 2(2b+3) = 74 \Rightarrow 4b+6 = 74 \Rightarrow 4b = 68 \Rightarrow b = 17 \).
4. \( a = 17+3 = 20 \).
5. Площадь \( S = a \cdot b = 20 \cdot 17 = 340 \).

б)

1. Пусть одна сторона \( b \), тогда другая \( a = 3b \).
2. \( 2(3b+b) = 56 \Rightarrow 2(4b) = 56 \Rightarrow 8b = 56 \Rightarrow b = 7 \).
3. \( a = 3 \cdot 7 = 21 \).
4. Площадь \( S = a \cdot b = 21 \cdot 7 = 147 \).

в)

1. Пусть стороны относятся как \( 7x \) и \( 10x \).
2. \( 2(7x+10x) = 68 \Rightarrow 2(17x) = 68 \Rightarrow 34x = 68 \Rightarrow x = 2 \).
3. Стороны \( 7 \cdot 2 = 14 \) и \( 10 \cdot 2 = 20 \).
4. Площадь \( S = 14 \cdot 20 = 280 \).

г)

1. Пусть стороны относятся как \( 5x \) и \( 11x \).
2. \( 2(5x+11x) = 64 \Rightarrow 2(16x) = 64 \Rightarrow 32x = 64 \Rightarrow x = 2 \).
3. Стороны \( 5 \cdot 2 = 10 \) и \( 11 \cdot 2 = 22 \).
4. Площадь \( S = 10 \cdot 22 = 220 \).

Ответ: а) 340; б) 147; в) 280; г) 220.