427. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB, а P — произвольная точка AB. Через P проведены прямые, параллельные AC и BC; они пересекают боковые стороны и образуют четырёхугольник внутри треугольника.

Обозначим точки пересечения на AC и BC через M и N соответственно. Поскольку PM ∥ BC, а PN ∥ AC, получившиеся при разбиении треугольники и четырёхугольник имеют стороны, параллельные боковым сторонам исходного треугольника.

По параллельности и подобию сумма отрезков четырёхугольника, параллельных AC, равна AC; сумма отрезков, параллельных BC, равна BC. Поэтому его периметр равен AC + BC.

Ответ: периметр четырёхугольника равен сумме боковых сторон исходного треугольника.