429. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD сумма углов при концах каждой из двух смежных сторон равна 180°.

Для стороны AB это означает, что внутренние односторонние углы при прямых AD и BC, пересечённых секущей AB, supplementary; следовательно, AD ∥ BC.

Для другой из двух смежных сторон, например BC, сумма углов при её концах также равна 180°. По тому же признаку получаем AB ∥ CD.

Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник является параллелограммом.